科学就是如此奇妙，很多时候，物理学家和数学家经常从完全不同的理由出发，独自进行研究，最后却发现得出了某种相同的结构，卡拉比-丘空间的发现是此类实例之一。

一、弦论的DNA

丘成桐（1949- ）在1977年就证明了卡拉比（Eugenio Calabi，1923- ）于20多年前纯粹作为几何问题而提出的猜想，从此以后，卡拉比-丘空间（Calabi-Yau Space）便成为了他的“掌上明珠”。但丘成桐可能不知道的是，同样也有一批理论物理学家和数学物理学家，逐渐被这种类型的几何结构所吸引。那几年，他们正在“众里寻他千百度”呢，但却万万没想到，这“灯火阑珊处”，原来就在离得不远的数学界。

1984年，丘成桐接到他以前的博士后加里·霍洛维茨（Gary Horowitz，1955- ）和好友安德鲁·斯特罗明格（Andrew Strominger，1955-）的电话。他们告诉丘成桐，在他们最近的工作中，发现弦论中蜷缩起来的额外六维空间，就应该是卡拉比-丘空间。他们的结果发表在 Candelas-Horowitz-Strominger-Witten 1985 年的文章里。

从物理学的角度看，卡拉比-丘空间最简单的特性，可以用一句话来描述：这是一个里奇平坦的、紧致的复流形，怎么理解这三个特性呢？

1. 复流形

复流形（complexmanifold）是具有复数结构的流形。流形则可以简单地被理解为局部平坦的空间，换言之，其上的每个小区域看起来都像普通的欧几里德空间（Euclidean space）（“流形”和“空间”两个词汇通用，本文以后将不再区分）。复流形就是能被一族具有复数坐标的邻域所覆盖的空间。一个n维复流形也是2n维的（实）流形。例如，图1是1维复流形（2维实流形）的几个特例。

图1：几种特殊的1维复流形

图1a复数平面（complex plane）是最简单平庸的1维复流形。b所示的环面（Flat torus）是卡拉比-丘流形的实2维类比。c黎曼球面（Riemann Sphere）和d平方根黎曼曲面（Riemannian surface）是黎曼流形的例子。

2. 紧致性

紧致性流形是因为空间弯曲而造成的图形，如图1b和1c所示。紧致性，有其严格的数学定义，在丘成桐先生的科普书《大宇之形》中，将其简单地解释为“范围有限”。我们也不妨使用康奈尔大学麦卡利斯特（Liam McAllister）的话来这样直观理解紧致性：“可以用有限块、有限大小花布缝制的被子来完全覆盖它”。卡拉比–丘流形属于紧致性流形，因此将它用于弦论中时，我们这些四维时空的居民，根本看不到这个紧致极小的六维空间。尽管它无处不在，系附在我们世界的每一时空点。

然而，这个看不见摸不着的空间，对我们的4维时空有着深刻的影响。弦论学者们认为，原则上，只要我们知道这个紧致空间确切的形状，我们就知道了一切。也有人说：“宇宙密码可能写在卡拉比-丘空间的几何性质中”，就像人体DNA记录了人体的秘密一样。因此，弦论的创建者之一，斯坦福大学物理学家萨斯金（Leonard Susskind，1940- ）宣称，卡拉比-丘流形是“弦论的DNA”。

3. 里奇平坦

里奇平坦空间（Ricci-flatmanifold）的意思是该空间的里奇曲率（Ricci curvature）为0。那么，又何谓里奇曲率呢？这个名词对物理（弦论）很重要，但解释起来需要更多的预备知识。此外，如同卡拉比-丘空间这样一种颇为复杂的复3维（实数6维）几何结构，又是如何与物理学关联起来的？这些都得慢慢从头说起。

二、背景

1. 几何与物理

其实上，科学史中几何与物理的交汇之点比比皆是、源远流长。

几何与物理是相通的，杨振宁曾经赠给著名几何学家陈省身一首诗：“天衣岂无缝，匠心剪接成。浑然归一体，广邃妙绝伦。造化爱几何，四力纤维能。千古寸心事，欧高黎嘉陈。”（编者注：先别看下文，诗中的最后一句“欧高黎嘉陈”，你知道是哪五位几何学家么？）